यदि x + y = 1 है,तो sumlimits_{r = 0}^n {{r^2 | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ है।सर्वसमिका $r^2 = r(r-1) + r$ का उपयोग करने पर:$= \sum\limits_{r = 0}^n {[

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$nx(nx + y)$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ है।सर्वसमिका $r^2 = r(r-1) + r$ का उपयोग करने पर:$= \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$$= \sum\limits_{r = 2}^n {r(r - 1){\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}} + \sum\limits_{r = 1}^n {{r^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}}$$= \sum\limits_{r = 2}^n {n(n - 1){\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^r}{y^{n - r}}} + \sum\limits_{r = 1}^n {n{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^r}{y^{n - r}}}$$= n(n - 1){x^2}\sum\limits_{r = 2}^n {{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^{r - 2}}{y^{(n - 2) - (r - 2)}}} + nx\sum\limits_{r = 1}^n {{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{x^{r - 1}}{y^{(n - 1) - (r - 1)}}}$$= n(n - 1){x^2}{(x + y)^{n - 2}} + nx{(x + y)^{n - 1}}$चूँकि $x + y = 1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:$= n(n - 1){x^2} + nx$$= n^2x^2 - nx^2 + nx = nx(nx - x + 1)$चूँकि $1 - x = y$,अतः:$= nx(nx + y)$

यदि $x + y = 1$ है,तो $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ का मान क्या होगा?

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$(1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{100})^3$ में $x^{100}$ का गुणांक क्या है?

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