यदि int frac{dx}{x sqrt{1-x^3}} = k log left( | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{1-x^3}}$.अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3 \sqrt{1-x^3}}$.माना $1-x^3 = t^2$,तब $-3x

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{1-x^3}}$.अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3 \sqrt{1-x^3}}$.माना $1-x^3 = t^2$,तब $-3x^2 dx = 2t dt$,अर्थात $x^2 dx = -\frac{2}{3} t dt$.साथ ही,$x^3 = 1-t^2$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{-\frac{2}{3} t dt}{(1-t^2) t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{t^2-1}$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}ight| + c$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{2}{3} 	imes \frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}ight| + c = \frac{1}{3} \log \left|\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1}ight| + c$.दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{dx}{x \sqrt{1-x^3}} = k \log \left(\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1}\right) + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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