यदि int frac{1+x^2}{1+x^4} dx=frac{1}{sqrt{2} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{\frac{1}{x^2} + x^2} dx = \int

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$x-\frac{1}{x}$

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(D) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{\frac{1}{x^2} + x^2} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$ प्राप्त होता है।हम हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं:$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$।माना $t = x - \frac{1}{x}$ है। तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{dt}{t^2 + 2} = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2}$ प्राप्त होता है।सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + c$ प्राप्त होता है।$t = x - \frac{1}{x}$ का मान वापस रखने पर:$I = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left[\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}ight] + c$ प्राप्त होता है।इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}\left[\frac{f(x)}{\sqrt{2}}ight] + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x - \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left[\frac{f(x)}{\sqrt{2}}\right]+c$ है,तो $f(x)=$

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यदि $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ है,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $f(x)$ क्या है?

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