यदि int frac{x^3 , dx}{sqrt{1+x^2}} = a(1+x^2 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}}$.$1+x^2 = t^2$ रखने पर,$2x \, dx = 2t \, dt$,जिसका अर्थ है $x \, dx = t \, dt$.साथ ही,$x^2 = t^2 - 1

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$-1$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}}$.$1+x^2 = t^2$ रखने पर,$2x \, dx = 2t \, dt$,जिसका अर्थ है $x \, dx = t \, dt$.साथ ही,$x^2 = t^2 - 1$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{(t^2-1) \cdot t \, dt}{t} = \int (t^2 - 1) \, dt$.$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$I = \frac{t^3}{3} - t + c$.$t = \sqrt{1+x^2}$ वापस रखने पर:$I = \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} - \sqrt{1+x^2} + c = \frac{1}{3}(1+x^2)\sqrt{1+x^2} - 1\sqrt{1+x^2} + c$.दिए गए रूप $a(1+x^2)\sqrt{1+x^2} + b\sqrt{1+x^2} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{3}$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।अतः,$3ab = 3 	imes \frac{1}{3} 	imes (-1) = -1$.

यदि $\int \frac{x^3 \, dx}{\sqrt{1+x^2}} = a(1+x^2) \sqrt{1+x^2} + b \sqrt{1+x^2} + c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $3ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

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