यदि S = frac{1}{1 times 2} - frac{1}{2 times | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{1 	imes 2} - \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} - \frac{1}{4 	imes 5} + \dots + \infty$ है। आंशिक भिन्नों का

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$\frac{4}{e}$

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(B) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{1 	imes 2} - \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} - \frac{1}{4 	imes 5} + \dots + \infty$ है। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$। अतः,$S = (1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$। $S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$। $S = 1 - 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots)$। हम जानते हैं कि $\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$। $x=1$ के लिए,$\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_e 2$। इस मान को $S$ में रखने पर: $S = 1 - 2(1 - \log_e 2) = 1 - 2 + 2 \log_e 2 = 2 \log_e 2 - 1 = \log_e 4 - \log_e e = \log_e(\frac{4}{e})$। अतः,$e^S = e^{\log_e(4/e)} = \frac{4}{e}$।

यदि $S = \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{4 \times 5} + \dots + \infty$ है,तो $e^S = $

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