यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ और $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ और यदि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

मान लीजिए $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,और $\vec{u}$ तथा $\vec{v}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ और $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$। मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ और $t$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,और $\alpha+\beta-t \gamma=0$। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें और सही विकल्प चुनें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

मान लीजिए कि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं। यदि $\vec{a}+5\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है,$\vec{b}+6\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है,और $\vec{a}+\alpha\vec{b}+\beta\vec{c}=\vec{0}$ है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\triangle PQR$ एक त्रिभुज है। मान लीजिए $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ और $\vec{c}=\overline{PQ}$ है। यदि $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

मान लीजिए $\vec{a}_n = (\tan \theta_n)\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b}_n = \hat{i} - (\cot \theta_n)\hat{j}$, जहाँ $\theta_n = \frac{2^{n-1}\pi}{2^n+1}$, किसी $n \in N, n > 5$ के लिए। तो $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2}$ का मान . . . . . . है।

यदि $ABCDEF$ एक नियमित षट्कोण है,और $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = k \vec{AD}$ है,तो $k = \dots$