यदि a, b, c एक triangle ABC की भुजाएँ हैं और | vedclass

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Question

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b

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$\frac{9}{4}$

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(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 0$. यह सरल होकर $3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$ हो जाता है। अतः $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$. सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर। चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a+b+c 
eq 0$. अतः $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$. यह तभी संभव है जब $a = b = c$ हो। चूंकि $a = b = c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$. अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

यदि $a, b, c$ एक $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं और $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है,तो $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = $ . . . . . . .

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यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&{x - z}&{x - y}\\{y - z}&{z + x}&{y - x}\\{z - y}&{z - x}&{x + y}\end{array}} \right| = kxyz$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों की प्रणाली $ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $, $ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $, और $ x + y = 1 $ सुसंगत है, तो $ k $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम (inverse) संभव नहीं है,तो $x$ का वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों का निकाय
$(k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3$
$(k+1) x + (k+2) y = k+3$
$x + y = 1$
संगत है,तो $k$ का मान क्या है?

$c \in R$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x - cy - cz = 0$,$cx - y + cz = 0$,$cx + cy - z = 0$ का एक अशून्य हल (non-trivial solution) हो।

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