यदि f(a+b-x)=f(x) है,तो int_a^b x f(x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$. गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$. गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) d x$. चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $I = \int_a^b (a+b-x) f(x) d x$. $I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - \int_a^b x f(x) d x$. $I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - I$. $2I = (a+b) \int_a^b f(x) d x$. $I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

यदि $f(a+b-x)=f(x)$ है,तो $\int_a^b x f(x) d x=$ . . . . . . .

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$\int_{a}^{b} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a + b - x}} dx = . . . . . .$

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

यदि $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ जहाँ $x > 0$ है,तो समीकरण $f(x) + f(1/x) = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x$ का/के मान है/हैं:

$\int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx = $

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