यदि f(x) = intlimits_1^x frac{ln t}{1 + t} dt | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$.
$f(1/x) = \int\limits_1^{1/x} \frac{\ln t}{1 + t} dt$ पर विचार करें।
माना $t = 1/u$

Vedclass · Accepted Answer

सभी $x > 0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$.
$f(1/x) = \int\limits_1^{1/x} \frac{\ln t}{1 + t} dt$ पर विचार करें।
माना $t = 1/u$,तो $dt = -1/u^2 du$.
जब $t = 1$,तो $u = 1$ और जब $t = 1/x$,तो $u = x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} (-1/u^2) du = \int\limits_1^x \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \cdot \frac{1}{u^2} du = -\int\limits_1^x \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.
अब,$f(x) + f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt - \int\limits_1^x \frac{\ln t}{t(1 + t)} dt = \int\limits_1^x \ln t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.
समाकल्य को सरल करने पर:
$\frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t-1}{t(1+t)}$.
अतः,$f(x) + f(1/x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t (t-1)}{t(1+t)} dt$.
यह समाकलन $x=1$ के लिए $0$ होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(D)$ है।

यदि $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ जहाँ $x > 0$ है,तो समीकरण $f(x) + f(1/x) = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x$ का/के मान है/हैं:

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