यदि f(x) = begin{cases} e^{cos x}sin x, & |x| | vedclass

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Question

(C) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \ 2, & 	ext{अन्यथा} \end{cases}$ दिया गया है।हमें समाकलन $I = \int_{-2}^{3} f(x) dx

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$2$

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(C) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \ 2, & 	ext{अन्यथा} \end{cases}$ दिया गया है।हमें समाकलन $I = \int_{-2}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।हम समाकलन को $x = 2$ पर विभाजित कर सकते हैं:$I = \int_{-2}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx$.अंतराल $[-2, 2]$ के लिए,$f(x) = e^{\cos x}\sin x$ है। मान लीजिए $g(x) = e^{\cos x}\sin x$ है। तब $g(-x) = e^{\cos(-x)}\sin(-x) = e^{\cos x}(-\sin x) = -g(x)$ है। अतः,$g(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $g(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} g(x) dx = 0$ होता है। इसलिए,$\int_{-2}^{2} e^{\cos x}\sin x dx = 0$.अंतराल $(2, 3]$ के लिए,$f(x) = 2$ है। इसलिए,$\int_{2}^{3} 2 dx = [2x]_{2}^{3} = 2(3 - 2) = 2$.इन परिणामों को जोड़ने पर,$I = 0 + 2 = 2$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x) = \begin{cases} e^{\cos x}\sin x, & |x| \le 2 \\ 2, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है,तो $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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