यदि sum_{r=1}^{n}(2r-1) = x है,तो lim_{n} {ri | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $x = \sum_{r=1}^{n}(2r-1)$.यह प्रथम $n$ विषम पूर्णांकों का योग है,जो $x = n^2$ है।अतः,$x^2 = n^4$.व्यंजक $\lim_{n \rightarrow \inft

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$\frac{1}{4}$

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(A) दिया गया है कि $x = \sum_{r=1}^{n}(2r-1)$.यह प्रथम $n$ विषम पूर्णांकों का योग है,जो $x = n^2$ है।अतः,$x^2 = n^4$.व्यंजक $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}{x^2} \right]$ हो जाता है।घनों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.सीमा में यह मान रखने पर: $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} \right]$.$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2 \cdot n^2(1 + \frac{1}{n})^2}{4n^4} \right]$.$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{(1 + \frac{1}{n})^2}{4} \right] = \frac{1}{4}$.

यदि $\sum_{r=1}^{n}(2r-1) = x$ है,तो $\lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left[ \frac{1^3}{x^2} + \frac{2^3}{x^2} + \frac{3^3}{x^2} + \ldots + \frac{n^3}{x^2} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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