જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $AB = B$ અને $BA = A$ થાય,તો $A^{2} + B^{2}$ હંમેશા કોના બરાબર થાય?

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

$\alpha, \beta \in R$ અને પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,ધારો કે $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$. તો $2A_{10} - A_8$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b, c$ એ $x^5 = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે અને $S$ એ $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ અ-વ્યુત્ક્રમણીય શ્રેણિકોનો ગણ છે,જ્યાં $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$. તો ગણ $S$ માં રહેલા ભિન્ન શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & 3 \\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, c \in \mathbb{R}$. જો $A^3 = A$ હોય અને $a$ ની ધન કિંમત અંતરાલ $(n-1, n]$ માં હોય,જ્યાં $n \in \mathbb{N}$,તો $n$ ની કિંમત $..........$ છે.

ધારો કે $A=I_2-2 MM^{T}$,જ્યાં $M$ એ $2 \times 1$ ક્રમનો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી સંબંધ $M^T M=I_1$ સાચો છે. જો $\lambda$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા હોય કે જેથી $2 \times 1$ ક્રમના કોઈ શૂન્યતર વાસ્તવિક શ્રેણિક $X$ માટે $AX=\lambda X$ સંબંધ સાચો હોય,તો $\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?