यदि f(x) = begin{cases} x, & text{यदि } x tex | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x, & 	ext{यदि } x 	ext{ अपरिमेय है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ परिमेय है} \end{cases}$।किसी भी $a 
eq 0$ के

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केवल $x=0$ पर सतत

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x, & 	ext{यदि } x 	ext{ अपरिमेय है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ परिमेय है} \end{cases}$।किसी भी $a 
eq 0$ के लिए,परिमेय संख्याओं के अनुक्रम $r_n 	o a$ और अपरिमेय संख्याओं के अनुक्रम $i_n 	o a$ पर विचार करें।तब $\lim_{n 	o \infty} f(r_n) = \lim_{n 	o \infty} 0 = 0$ और $\lim_{n 	o \infty} f(i_n) = \lim_{n 	o \infty} i_n = a$।चूंकि $a 
eq 0$ के लिए $0 
eq a$ है,इसलिए $a 
eq 0$ के लिए सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।$x=0$ पर,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0$ क्योंकि किसी भी अनुक्रम $x_n 	o 0$ के लिए,$f(x_n)$ या तो $x_n$ (यदि $x_n$ अपरिमेय है) या $0$ (यदि $x_n$ परिमेय है) है,जो दोनों $0$ की ओर अग्रसर हैं।चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए फलन केवल $x=0$ पर सतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \end{cases}$ है,तो $f$ है

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सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

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