यदि y=e^{sqrt{x sqrt{x} sqrt{x} ldots}}, x1, | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}

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$3$

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(A) दिया गया है,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}} \log _e e = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}$. चूंकि वर्गमूल के नीचे का व्यंजक दोहराया जा रहा है,हम लिख सकते हैं: $\log _e y = \sqrt{x \log _e y}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\log _e y)^2 = x \log _e y$. $\log _e y$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x>1$,$y>1$,इसलिए $\log _e y 
eq 0$): $\log _e y = x$. अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \implies \frac{d y}{d x} = y$. पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} = y$. $x = \log _e 3$ पर,हमारे पास $\log _e y = \log _e 3$ है,जिसका अर्थ है $y = 3$. अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = y = 3$.

यदि $y=e^{\sqrt{x \sqrt{x} \sqrt{x} \ldots}}, x>1$,तो $x=\log _e 3$ पर $\frac{d^2 y}{d x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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