यदि $\cos (2\sin ^{ - 1}x) = \frac{1}{9}$ है,तो $x = $

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को ध्यान में रखते हुए,$\tan ^{-1}(x)+\tan ^{-1}(2 x)=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के धनात्मक वास्तविक मानों की संख्या है:

यदि $y = \sec^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

$\sin \left[\tan ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right]$ का मान है

${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right]$,जहाँ $|x| < 1$ और $x \ne 0$ है,का मान क्या होगा?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
अभिकथन $(A)$: $x \in \mathbb{R}-\{1\}$ के लिए, $\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} x\right)$.
तर्क $(R)$: $x < 1$ के लिए, $\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x$, और $x > 1$ के लिए, $\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x$.
सही उत्तर है: