જો z = frac{sqrt{3} + i}{2} હોય,તો left(z^{10 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101}

Vedclass · Accepted Answer

$i$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}ight)$.કારણ કે $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,તેથી $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.વળી,$i^{103} = i^{100} 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$.આમ,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}ight) = -z$.તેથી,$\left(z^{101} + i^{103}ight)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}ight)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.કારણ કે $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,તેથી $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}ight) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}ight) = 0 - i = -i$.અંતે,$-z^{105} = -(-i) = i$.

જો $z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ હોય,તો $\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = $

Similar Questions

જો $n$ એક પૂર્ણાંક હોય અને $Z = \cos \theta + i \sin \theta$,જ્યાં $\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,તો $\frac{1 + Z^{2n}}{1 - Z^{2n}} = $

સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,તો તેમનો ગુણાકાર શું થાય?

જો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો શ્રેણી $1 + (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta + i \sin \theta)^2 + (\cos \theta + i \sin \theta)^3 + \ldots$ નું $10$ મું પદ શું થાય?

$(-1+i \sqrt{3})^{60} = ?$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module