यदि z = frac{sqrt{3} + i}{2} है,तो left(z^{10 | vedclass

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Question

(C) दिया है,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{1

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$i$

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(C) दिया है,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight)$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}ight)$.चूंकि $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,इसलिए $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.साथ ही,$i^{103} = i^{100} 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$.अतः,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}ight) = -z$.इसलिए,$\left(z^{101} + i^{103}ight)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}ight)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.चूंकि $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,इसलिए $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}ight) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}ight) = 0 - i = -i$.अंत में,$-z^{105} = -(-i) = i$.

यदि $z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ है,तो $\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = $

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