જો 1+x^2=sqrt{3} x હોય,તો sum_{n=1}^{24}left( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n

Vedclass · Accepted Answer

$-48$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}ight)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}ight)^2 - 4$. ધારો કે $x = e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$. તો $x+\frac{1}{x} = 2 \cos 	heta = \sqrt{3}$,તેથી $\cos 	heta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $	heta = \frac{\pi}{6}$. આમ,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ અને $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$. તેથી $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$. તેથી,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}ight)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. હવે,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. કારણ કે $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ નો આવર્તકાળ $6$ છે,તેથી $24$ પદોનો સરવાળો $4 	imes \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ થાય. $\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$. આમ,કુલ સરવાળો $-4 	imes (4 	imes 3) = -48$ થાય.

જો $1+x^2=\sqrt{3} x$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{24}\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $z_1$ અને $z_2$ બે એકમાપી (unimodular) સંકર સંખ્યાઓ હોય જે $z_1^2 + z_2^2 = 5$ નું સમાધાન કરે છે,તો $(z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ ની કિંમત શોધો.

$(1+i)^5(1-i)^7$ ની કિંમત શોધો:

સંકર સંખ્યાઓ $\sin x + i\cos 2x$ અને $\cos x - i\sin 2x$ એકબીજાની અનુબદ્ધ (conjugate) હોય તે માટે

જો $(2+i)$ એ સમીકરણ $x^3-5x^2+9x-5=0$ નું એક બીજ હોય,તો અન્ય બીજ કયા છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module