$(1+i)^5(1-i)^7$ ની કિંમત શોધો:

વિધાનો પૈકી:
$(S1) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-i}{z+i} \text{ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે}\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે,અને
$(S2) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-1}{z+1} \text{ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે}\}$ માં અનંત ઘટકો છે.

જો $P, Q$ અને $R$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોય અને $\angle P = \frac{\pi}{2}$ હોય, તો $\left(\cos \frac{P}{3} - i \sin \frac{P}{3}\right)^3 + (\cos Q + i \sin Q) (\cos R - i \sin R) + (\cos P - i \sin P) (\cos Q - i \sin Q) (\cos R - i \sin R)$ ની કિંમત શોધો.

જો $z \ne 0$ એક સંકર સંખ્યા હોય,તો

જો $a, b, c$ અને $d \in \mathbb{R}$ એવા હોય કે જેથી $a^2+b^2=4$ અને $c^2+d^2=2$ અને જો $(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$ હોય,તો $x^2+y^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $k \in R$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ એવો છે કે જેથી સમીકરણ $z(\bar{z} + 2 + i) + k(2 + 3i) = 0, z \in C$, ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે, તે અંતરાલ $[\alpha, \beta]$ છે. તો $9(\alpha + \beta)$ નું મૂલ્ય શોધો: