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Question

(D) दिया गया है,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ से भाग देने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right

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$-48$

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(D) दिया गया है,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ से भाग देने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $\left(x^n-\frac{1}{x^n}ight)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}ight)^2 - 4$. माना $x = e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$. तब $x+\frac{1}{x} = 2 \cos 	heta = \sqrt{3}$,अतः $\cos 	heta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $	heta = \frac{\pi}{6}$. अतः,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ और $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$. तब $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$. इसलिए,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}ight)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. अब,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. चूंकि $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ का आवर्तकाल $6$ है,इसलिए $24$ पदों का योग $4 	imes \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ होगा। $\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$. अतः,कुल योग $-4 	imes (4 	imes 3) = -48$ है।

यदि $1+x^2=\sqrt{3} x$ है,तो $\sum_{n=1}^{24}\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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