સંકર સંખ્યાઓ $\sin x + i\cos 2x$ અને $\cos x - i\sin 2x$ એકબીજાની અનુબદ્ધ (conjugate) હોય તે માટે

ધારો કે $z=x+iy$ અને $w=u+iv$ એ એકમ વર્તુળ પરના સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $z^2+w^2=1$ થાય. તો ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાનો પૈકી:
$(S1) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-i}{z+i} \text{ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે}\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે,અને
$(S2) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-1}{z+1} \text{ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે}\}$ માં અનંત ઘટકો છે.

જો $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ હોય, તો List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

$(r, \theta)$ એ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ દર્શાવે છે. જો $x = (1, \alpha)$,$y = (1, \beta)$,$z = (1, \gamma)$ અને $x + y + z = 0$ હોય,તો $\sum \cos (2\alpha - \beta - \gamma) = $

ધારો કે $A = \{z : (\frac{z - \bar{z}}{2i})^2 \leqslant 2(\frac{z - \bar{z}}{2i})\}$ જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ અને $B = \{z : |z| \leqslant \sqrt{5}\}$. $A \cap B$ માં આવેલા $z$ ના પૂર્ણાંક વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો ધરાવતા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?