यदि -frac{pi}{2}

Question

(B) माना $x = \log \left(	an \left(\frac{\pi}{4}+\frac{	heta}{2}ight)ight)$ है।अतः,$e^x = 	an \left(\frac{\pi}{4}+\frac{	heta}{2}ight) = \fr

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$2 	anh ^{-1}\left(	an \frac{	heta}{2}ight)$

Vedclass · Answer

(B) माना $x = \log \left(	an \left(\frac{\pi}{4}+\frac{	heta}{2}ight)ight)$ है।अतः,$e^x = 	an \left(\frac{\pi}{4}+\frac{	heta}{2}ight) = \frac{1+	an \frac{	heta}{2}}{1-	an \frac{	heta}{2}}$ है।योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:$\frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{(1+	an \frac{	heta}{2}) - (1-	an \frac{	heta}{2})}{(1+	an \frac{	heta}{2}) + (1-	an \frac{	heta}{2})} = \frac{2 	an \frac{	heta}{2}}{2} = 	an \frac{	heta}{2}$ है।हम जानते हैं कि $	anh \left(\frac{x}{2}ight) = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$ होता है।इसलिए,$	an \frac{	heta}{2} = 	anh \left(\frac{x}{2}ight)$ है।दोनों पक्षों का प्रतिलोम हाइपरबोलिक स्पर्शज्या लेने पर:$\frac{x}{2} = 	anh ^{-1}\left(	an \frac{	heta}{2}ight)$ है।अतः,$x = 2 	anh ^{-1}\left(	an \frac{	heta}{2}ight)$ है।इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

यदि $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ है,तो $\log \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right)=$

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$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 3^2} + \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{4 \cdot 3^4} + \dots \infty = $

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श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\log_e \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right)^3 - \dots$

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