यदि ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$ सभी $n \geq r \geq 3$ के लिए सत्य है,तो $(B, B^{\prime}) = $.

$9$ महिलाओं और $8$ पुरुषों में से $12$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। उन समितियों की संख्या जिनमें महिलाएं बहुमत में हैं,है

$100$ और $1000$ के बीच ऐसी कितनी पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग $14$ है?

एक उम्मीदवार को $12$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जो दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित हैं, प्रत्येक में $6$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्नों का प्रयास करने की अनुमति नहीं है। वह कितने अलग-अलग तरीकों से $6$ प्रश्नों का चयन कर सकता है?

समीकरण $x+y+z=10$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए, जहाँ $x, y$ और $z$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

एक छात्र को $2n+1$ पुस्तकों के संग्रह में से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है। यदि उसके द्वारा कम से कम एक पुस्तक चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।