જો $4x - 3y - 5 = 0$ એ ઉપવલય $3x^2 + 8y^2 = k$ નો અભિલંબ હોય,તો આ ઉપવલય પર બિંદુ $(-2, m)$ $(m > 0)$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $6$ અને $2$ છે. જો તેનું કેન્દ્ર $(5,6)$ પર હોય અને મુખ્ય અક્ષ $x-y+1=0$ રેખા પર હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ પરના કોઈ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને બિંદુ $A$ માં છેદે છે. જો $A^{\prime}$ એ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે $A$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો $AA^{\prime}$ ને વ્યાસ તરીકે લેતું વર્તુળ કયા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ પર બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ $\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. $\theta$ ની કઈ કિંમત માટે આ સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય છે?

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

રેખા $x = 8$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેનું અનુરૂપ નાભિ $(2, 0)$ છે. જો પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક બિંદુ $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે,તો $(3PQ)^2$ ની કિંમત $........$ છે.