જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને તેના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો રેખા $\frac{x}{2 e_1}+\frac{y}{2 e_2}=1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને સ્પર્શે છે. તો તેની ત્રિજ્યા શોધો.

લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ના બિંદુ $t_1$ આગળનો અભિલંબ વક્રને ફરીથી બિંદુ $t_2$ પર મળે છે. તો $t_1^3 t_2$ ની કિંમત શું થાય?

અતિવલય $49 y^{2}-16 x^{2}=784$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

અતિવલય $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

અતિવલય $H : x^{2}-2y^{2}=4$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે બિંદુ $P(4, \sqrt{6})$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $Q$ માં અને નાભિલંબને $R(x_{1}, y_{1})$ માં મળે છે,જ્યાં $x_{1}>0$. જો $F$ એ $H$ ની નાભિ હોય જે બિંદુ $P$ ની નજીક હોય,તો $\Delta QFR$ નું ક્ષેત્રફળ ....... જેટલું થાય.

અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 90$ પર બિંદુ $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો તેના ટ્રાન્સવર્સ અક્ષ સાથે $\alpha$ અને $\beta$ ખૂણા બનાવે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ કોટિકોણ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.