यदि P_1, P_2 और P_3 क्रमशः triangle ABC के शी | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि शीर्षलंबों की लंबाई $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ होती है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज

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$\frac{1}{R}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि शीर्षलंबों की लंबाई $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ होती है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$चूंकि $\Delta = \frac{abc}{4R}$,इसलिए $\frac{1}{2\Delta} = \frac{2R}{abc}$:$= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2 \cdot \frac{abc}{4R}} = \frac{8R^2 \sin A \sin B \sin C}{abc}$$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,$\sin C = \frac{c}{2R}$ रखने पर:$= \frac{8R^2 (\frac{a}{2R}) (\frac{b}{2R}) (\frac{c}{2R})}{abc} = \frac{8R^2 \cdot \frac{abc}{8R^3}}{abc} = \frac{1}{R}$

यदि $P_1, P_2$ और $P_3$ क्रमशः $\triangle ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ से खींचे गए शीर्षलंबों की लंबाई हैं,तो $\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} =$

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