જો $P$ અને $Q$ સમાન કક્ષાના બે શૂન્યતર ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી તેમનો ગુણાકાર $PQ = 0$ થાય,તો ........

જો $A$ અને $B$ બે શ્રેણિકો એવા હોય કે જેથી $AB = B$ અને $BA = A$ થાય,તો ${A^2} + {B^2} = $

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ \beta & 2 \end{bmatrix}$. જો $A^2 - 4A + I = O$ અને $B^2 - 5B - 6I = O$ હોય, તો નીચેના બે વિધાનો પૈકી:
(S1): $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$
અને
(S2): $\det(\text{adj}(A + B)) = -5$.

સમાન કક્ષા $n$ ના બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$, અને $r, s \in \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $P = \begin{bmatrix} (-z)^r & z^{2s} \\ z^{2s} & z^r \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. તો $(r, s)$ ની એવી ક્રમયુક્ત જોડોની કુલ સંખ્યા શોધો જેના માટે $P^2 = -I$ થાય.

ધારો કે $p$ એક એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $T_p$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિકોનો ગણ છે:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જે સંમિત અથવા વિસંમિત અથવા બંને હોય,અને $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેનો ટ્રેસ $p$ વડે વિભાજ્ય ન હોય પરંતુ $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેનો $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$