ધારો કે A = begin{bmatrix} 1 & 2 1 & alpha e | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $A^2 - 4A + I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ, $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે. અહીં $	ext{tr}

Vedclass · Accepted Answer

only (S2) is correct

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $A^2 - 4A + I = O$. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ, $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે. અહીં $	ext{tr}(A) = 1 + \alpha$ અને $\det(A) = \alpha - 2$. તેથી, $\lambda^2 - (1 + \alpha)\lambda + (\alpha - 2) = 0$. $A^2 - 4A + I = O$ સાથે સરખાવતા, આપણને $1 + \alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 3$ મળે છે. આમ, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$. $B^2 - 5B - 6I = O$ માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 	ext{tr}(B)\lambda + \det(B) = 0$ છે. અહીં $	ext{tr}(B) = 3 + 2 = 5$ અને $\det(B) = 6 - 3\beta$. $B^2 - 5B - 6I = O$ સાથે સરખાવતા, $\det(B) = -6$ મળે છે. તેથી, $6 - 3\beta = -6 \Rightarrow 3\beta = 12 \Rightarrow \beta = 4$. આમ, $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$. હવે, $A + B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$. $\det(A + B) = (4)(5) - (5)(5) = 20 - 25 = -5$. (S2) માટે: $\det(	ext{adj}(A + B)) = (\det(A + B))^{2-1} = -5$. તેથી, (S2) સાચું છે. (S1) માટે: $B - A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{bmatrix}$, $B + A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$. $(B - A)(B + A) = \begin{bmatrix} 13 & 15 \ 7 & 10 \end{bmatrix}$. તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 7 \ 15 & 10 \end{bmatrix}$ થાય. જે (S1) માં આપેલ શ્રેણિક સાથે મળતું નથી. તેથી, (S1) ખોટું છે.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયો/કયા નિશ્ચાયક(કો) શૂન્ય થાય છે?

$(1+\Delta)(1-\nabla)$ ની કિંમત શું છે?

જો $C$ અને $D$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પરના બે $n \times n$ અસામાન્ય શ્રેણિકો (non-singular matrices) હોય, જેથી $CD = -DC$ થાય, તો $n$ એ:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module