यदि f: R rightarrow C,x in R के लिए f(x)=e^{2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ है।$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। हालाँकि,$f(x +

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न तो एकैकी और न ही आच्छादक

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(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ है।$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। हालाँकि,$f(x + \pi) = e^{2i(x+\pi)} = e^{2ix} \cdot e^{2i\pi} = e^{2ix} \cdot 1 = f(x)$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = f(x+\pi)$ है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $C$ के बराबर होना चाहिए। $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ का परिसर $1$ मापांक वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात ${z \in C : |z| = 1}$। चूँकि यह $C$ का एक उपसमुच्चय है और $C$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

यदि $f: R \rightarrow C$,$x \in R$ के लिए $f(x)=e^{2 i x}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ है (जहाँ $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है)

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