यदि f: R rightarrow R एक फलन है जो सभी x in R | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$,जहाँ $a = f^{\prime}(1)$,$b = f^{\prime \prime}(2)$,और $c = -f^{\prime \prime \prime}(3)$.सबसे पहले,अवकलज

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(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$,जहाँ $a = f^{\prime}(1)$,$b = f^{\prime \prime}(2)$,और $c = -f^{\prime \prime \prime}(3)$.सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2ax + b$,$f^{\prime \prime}(x) = 6x + 2a$,$f^{\prime \prime \prime}(x) = 6$.अब,स्थिरांकों के लिए हल करें:$f^{\prime \prime \prime}(3) = 6$,इसलिए $c = -6$.$f^{\prime \prime}(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a$. चूँकि $b = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $b = 12 + 2a$.$f^{\prime}(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b$. चूँकि $a = f^{\prime}(1)$,इसलिए $a = 3 + 2a + b$.$b = 12 + 2a$ को $a$ के समीकरण में रखने पर: $a = 3 + 2a + (12 + 2a) \Rightarrow a = 15 + 4a \Rightarrow -3a = 15 \Rightarrow a = -5$.अतः $b = 12 + 2(-5) = 2$.इस प्रकार,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 6$.$x=0$ पर,$y = f(0) = -6$. बिंदु $(0, -6)$ है।ढाल $m = f^{\prime}(0) = 3(0)^2 - 10(0) + 2 = 2$.$(0, -6)$ पर स्पर्शरेखा $y - (-6) = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x - 6$. $X$-अंतःखंड $3$ है।$(0, -6)$ पर अभिलंब $y - (-6) = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - 6$. $X$-अंतःखंड $-12$ है।त्रिभुज बिंदुओं $(0, -6)$,$(3, 0)$,और $(-12, 0)$ द्वारा बनता है।आधार की लंबाई $= 3 - (-12) = 15$. ऊँचाई $= |-6| = 6$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 15 	imes 6 = 45$ वर्ग इकाई।

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वक्र $y=x^3+ax-b$ के बिंदु $(1,-5)$ पर स्पर्श रेखा,रेखा $y-x+4=0$ के लंबवत है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु वक्र पर स्थित है?

किसी दिए गए वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,यदि

यदि रेखा $ax + by + c = 0$,वक्र $xy = 1$ का अभिलंब (normal) है,तो

वक्र $y = (x + 1)(x - 3)$ के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए जहाँ यह $x$-अक्ष को काटता है।

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