જો $\cos (f(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ અને $\tan (g(x))=\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}$ હોય,તો $\frac{d f}{d g}=$

ધારો કે વક્ર $x = t^3 - 4t^2 - 3t$ અને $y = 2t^2 + 3t - 5$ સમીકરણો દ્વારા પ્રાચલિત (parametrically) રીતે દર્શાવેલ છે,જ્યાં $t \in \mathbb{R}$. જો $H$ એ વક્ર પરના તે બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જ્યાં સ્પર્શક સમક્ષિતિજ (horizontal) છે અને $V$ એ તે બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જ્યાં સ્પર્શક શિરોલંબ (vertical) છે,તો:

$\sqrt {1 - x} $ ની સાપેક્ષમાં ${\cos ^{ - 1}}(\sqrt x )$ નું વિકલન સહગુણક શું થાય?

List-$I$ માં આપેલ પ્રચલિત સ્વરૂપમાં વક્રોની સિસ્ટમ માટે $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર $\frac{dy}{dx}$ ના મૂલ્યોને List-$II$ માં આપેલ વસ્તુઓ સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$	$(A)$ $4\sqrt{3}$
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$	$(B)$ $-\frac{1}{3\sqrt{3}}$
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$	$(C)$ $\sqrt{3}$
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$	$(D)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
	$(E)$ $\frac{1}{3\sqrt{3}}$

જો $x=a(1-\cos \theta)$ અને $y=a(\theta+\sin \theta)$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} =$ . . . . . .

$\sin^2 x$ નું $\cos^2 x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શું થાય?