यदि int f(x) dx = psi(x) है,तो int x^5 f(x^3) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx = \int x^3 f(x^3) x^2 dx$.$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$ प्राप

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$\frac{1}{3}[x^3 \psi(x^3)] - \int x^2 \psi(x^3) dx$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\int f(x) dx = \psi(x)$.माना $I = \int x^5 f(x^3) dx = \int x^3 f(x^3) x^2 dx$.$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t f(t) \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t f(t) dt$ प्राप्त होता है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = f(t) dt$ (अतः $du = dt$ और $v = \psi(t)$):$I = \frac{1}{3} [t \psi(t) - \int \psi(t) dt]$.अब,$t = x^3$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{3} [x^3 \psi(x^3) - \int \psi(x^3) (3x^2 dx)]$.$I = \frac{1}{3} x^3 \psi(x^3) - \int x^2 \psi(x^3) dx$.

यदि $\int f(x) dx = \psi(x)$ है,तो $\int x^5 f(x^3) dx = $

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यदि रैखिक फलन $f(x)$ और $g(x)$ समीकरण $\int[(3x-1) \cos x + (1-2x) \sin x] dx = f(x) \cos x + g(x) \sin x + C$ को संतुष्ट करते हैं,तो:

$\text{यदि } \int x^4(\log x)^3 dx = x^5[A(\log x)^3 + B(\log x)^2 + C \log x + D] + k, \text{ तो } A + B + C + 5D = $

$\int x \sin^2 x \, dx = $

फलन का समाकलन कीजिए: $x \sin x$

$\int \frac{\log x}{(1+x)^3} d x=$

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