यदि A=int_0^{infty} frac{1+x^2}{1+x^4} d x और | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$. $A = \int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लि

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$2B=A$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$. $A = \int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $A = \int_0^{\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$. माना $t = x - \frac{1}{x}$,तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$. जब $x 	o 0, t 	o -\infty$ और जब $x 	o \infty, t 	o \infty$. $A = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) ight]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. $B = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,$x = \frac{1}{u}$ रखने पर,$dx = -\frac{1}{u^2} du$. $B = \int_{\infty}^1 \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{1 + \frac{1}{u^4}} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_1^{\infty} \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} du$. चूंकि $A = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx + \int_1^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = B + B = 2B$. अतः,$2B = A$.

यदि $A=\int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$ और $B=\int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$ है,तो

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