જો I_n=int(cos ^n x+sin ^n x) d x અને I_n-fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.આપણે $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ લખી શકીએ.બંને સંકલન માટે ખંડશ

Vedclass · Accepted Answer

$\cos ^{n-2} x-\sin ^{n-2} x$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.આપણે $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ લખી શકીએ.બંને સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$\int \cos^{n-1} x \cos x dx$ માટે: $u = \cos^{n-1} x$,$dv = \cos x dx$ લો. તો $du = (n-1) \cos^{n-2} x (-\sin x) dx$,$v = \sin x$.$\int \cos^{n-1} x \cos x dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x dx$.$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ હોવાથી,આ $\cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ બને છે.તે જ રીતે,$\int \sin^{n-1} x \sin x dx$ માટે: $u = \sin^{n-1} x$,$dv = \sin x dx$ લો. તો $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx$,$v = -\cos x$.$\int \sin^{n-1} x \sin x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$.આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $I_n = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$.તેથી $I_n - \frac{n-1}{n} I_{n-2} = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} = \frac{\sin x \cos x}{n} (\cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x)$.આમ,$f(x) = \cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x$.

જો $I_n=\int(\cos ^n x+\sin ^n x) d x$ અને $I_n-\frac{n-1}{n} I_{n-2}=\frac{\sin x \cos x}{n} f(x)$ હોય,તો $f(x)=$

Similar Questions

$x \geq 0$ માટે, $\int \sqrt{x^2+2x} \, dx$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx = k \cos 4x + c$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int \frac{4e^x + 6e^{-x}}{9e^x - 4e^{-x}} dx = Ax + B \log |9e^{2x} - 4| + C$ હોય,તો $A, B$ અને $C$ શું છે?

$x > 0$ માટે,જો $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ હોય,તો $A + B + C + D + E + F$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt, n=1, 2, 3, \ldots$. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module