यदि f(x) = sin(tan^{-1} x) है,तो int_0^1 x f' | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sin(	an^{-1} x)$.सर्वसमिका $\sin(	an^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}

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$-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \sin(	an^{-1} x)$.सर्वसमिका $\sin(	an^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।हमें $I = \int_0^1 x f''(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x$ और $dv = f''(x) dx$ लेने पर,$du = dx$ और $v = f'(x)$ प्राप्त होता है।$I = [x f'(x)]_0^1 - \int_0^1 f'(x) dx$.$I = (1 \cdot f'(1) - 0 \cdot f'(0)) - [f(1) - f(0)]$.सबसे पहले,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} ight) = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ ज्ञात करते हैं।अब,$f'(1) = \frac{1}{(1+1^2)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.साथ ही,$f(1) = \sin(	an^{-1} 1) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $f(0) = \sin(	an^{-1} 0) = 0$.इन मानों को $I$ के समीकरण में रखने पर:$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} - (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

यदि $f(x) = \sin(\tan^{-1} x)$ है,तो $\int_0^1 x f''(x) dx =$

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