જો $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ બે સદિશો હોય અને $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ હોય,તો $x+y+z=$

ધારો કે સદિશો $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ અને $\overline{UP}$ એ એક નિયમિત ષટ્કોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
$\text{વિધાન}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

ધારો કે $\vec{a}=2\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ છે. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $2(\vec{a}\times\vec{c})+3(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{0}$ અને $(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{c}=-97$ થાય, તો $|\vec{c}\times \hat{k}|^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે અને $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર ન હોય તેવો શૂન્યતર સદિશ છે. જેની બે બાજુઓ $\sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે તે ત્રિકોણના ખૂણાઓ શોધો.

$A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ બિંદુઓ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ કયો છે?

જો $|a|=2, |b|=3$ અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|a \times b|^2$ શોધો.