यदि $(2, -1, 2)$ और $(K, 3, 5)$ दो रेखाओं के दिक-अनुपात (direction ratios) हैं और उनके बीच का कोण $45^{\circ}$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a \cdot b = 0$ है,तो:

मान लीजिए $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})+25=0, \vec{c} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$ और $\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $1$ है। तो,$\vec{c}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए:

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश हैं जो क्रमशः $\bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ और $\bar{a}+\bar{b}$ पर लंब हैं,और $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3, |\bar{c}|=4$ है,तो $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=$

एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की दो आसन्न भुजाएँ $\vec{PQ} = \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{PS} = \hat{i} - \hat{j}$ द्वारा दी गई हैं। यदि भुजा $PS$ को बिंदु $P$ के परितः समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ से इस प्रकार घुमाया जाता है कि यह भुजा $PQ$ के लंबवत हो जाए, तो $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}=6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-12 \hat{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $\vec{p}$, $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप है और $\vec{q}$, $\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप है, तो $13 \vec{p}=$ ($\vec{q}$ में)