જો $e$ અને $e'$ એ ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 45$ અને અતિવલય $5x^2 - 4y^2 = 45$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $ee' = $

રેખા $y=x+5$ એ કોને સ્પર્શે છે?

વક્રો $x^2-y^2=4$ અને $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

વક્રો $ax^2 + by^2 = 1$ અને $a'x^2 + b'y^2 = 1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત છે

ધારો કે $F_1(-1, 0)$ અને $F_2(1, 0)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ ના નાભિઓ છે. ધારો કે એક પરવલય જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિ $F_2$ પર છે,તે ઉપવલયને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $M$ પર અને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $N$ પર છેદે છે.
$(1)$ ત્રિકોણ $F_1 M N$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ જો ઉપવલયના $M$ અને $N$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો $R$ માં મળે અને પરવલયના $M$ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે,તો ત્રિકોણ $M Q R$ ના ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $M F_1 N F_2$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

કોઈ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે, ધારો કે અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e_{1}$ અને $l_{1}$ છે, અને ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e_{2}$ અને $l_{2}$ છે. જો $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ હોય, તો $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ ની કિંમત . . . . . . થાય.