यदि $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ पूर्णतः वास्तविक है,तो $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

यदि सम्मिश्र संख्या $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$, जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, का वास्तविक भाग शून्य है, तो $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान क्या होगा?

यदि $z_1=1-2 i$,$z_2=1+i$,और $z_3=3+4 i$ है,तो $\left(\frac{1}{z_1}+\frac{3}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}=$

यदि समुच्चय $R = \{(a, b) : a + 5b = 42, a, b \in N\}$ में $m$ अवयव हैं और $\sum_{n=1}^m (1 - i^{n!}) = x + iy$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $m + x + y$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z|=1$ है। यदि $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$,जहाँ $k \in R$ है,तो वृत्त $|z-(1+2i)|=1$ से $k+ik^2$ की अधिकतम दूरी क्या है?

मान लीजिए एक सम्मिश्र संख्या $z$,$|z| \neq 1$,$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$ को संतुष्ट करती है। तो,$|z|$ का अधिकतम मान ............ है।