જો $\frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય,તો $\theta$ ની એક કિંમત કઈ છે?

$z_1$ અને $z_2$ બે સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ થાય,તો $|z_1^3 + z_2^3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $z=\cos 6^{\circ}+i \sin 6^{\circ}$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{20} \operatorname{Im}\left(z^{2 n-1}\right)=$

ધારો કે $p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ એ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી શૂન્યતર બહુપદી છે. જો $p(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}) = 0$ હોય,તો $n$ ની લઘુત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

વિધાન $(A)$: જો $z$ એક એવી સંકરતાં એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z| \geq 3$,તો $|z + \frac{3}{z}|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
કારણ $(R)$: $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ માટે.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

વિધાનો પૈકી:
$(S1) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-i}{z+i} \text{ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે}\}$ માં બરાબર બે ઘટકો છે,અને
$(S2) :$ ગણ $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ અને } \frac{z-1}{z+1} \text{ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે}\}$ માં અનંત ઘટકો છે.