यदि S_n श्रेणी 1^2+2 times 2^2+3^2+2 times 4^ | vedclass

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Question

(C) श्रेणी $1^2, 2(2^2), 3^2, 2(4^2), 5^2, 2(6^2), \ldots$ है। जब $n$ सम है,तो $n = 2m$ लें। योग $S_{2m}$ में $m$ विषम पद और $m$ सम पद हैं। $S_{2m} =

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$\frac{n(n+1)^2}{2}$

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(C) श्रेणी $1^2, 2(2^2), 3^2, 2(4^2), 5^2, 2(6^2), \ldots$ है। जब $n$ सम है,तो $n = 2m$ लें। योग $S_{2m}$ में $m$ विषम पद और $m$ सम पद हैं। $S_{2m} = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + (2m)^2)$ $= \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$ $= \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$ $= 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$ $= 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$ $= 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$ $= 2m(m+1)(2m+1-1) + m$ $= 2m(m+1)(2m) + m = 4m^2(m+1) + m = m(4m^2 + 4m + 1) = m(2m+1)^2$ चूंकि $n = 2m$,इसलिए $m = n/2$ है। $m = n/2$ प्रतिस्थापित करने पर: $S_n = \frac{n}{2}(2(\frac{n}{2}) + 1)^2 = \frac{n}{2}(n+1)^2$.

यदि $S_n$ श्रेणी $1^2+2 \times 2^2+3^2+2 \times 4^2+5^2+2 \times 6^2+\ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योग है,तो जब $n$ सम है,तब $S_n=$

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