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Question

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात

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$4$

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(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$.यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1-1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।अब,व्यंजक $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)}$ हो जाता है।चूँकि $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ और $\sqrt{5} = 5^{1/2}$,हमारे पास है:$(5^{-1})^{\log_{5^{1/2}}(2^{-1})} = (5^{-1})^{\frac{-1}{1/2} \log_{5} 2} = (5^{-1})^{-2 \log_{5} 2} = 5^{2 \log_{5} 2}$.गुणधर्म $n \log_{b} a = \log_{b} a^n$ का उपयोग करने पर,$5^{\log_{5} 2^2} = 2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

${{(0.2)}^{{{\log }_{\sqrt{5}}}\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty \right)}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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