यदि $|a| = 3$ और $|b| = 4$ है,तो $\lambda$ का वह मान जिसके लिए $a + \lambda b$,$a - \lambda b$ पर लंब है,होगा

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ है। यदि $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ जहाँ $\theta = \frac{\pi}{9}$ है,तो सदिशों $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ और $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज $ABC$ में,शीर्ष $A$ पर समकोण है। यदि $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k},$ $-\hat{i} + 3\hat{j} + p\hat{k}$ और $5\hat{i} + q\hat{j} - 4\hat{k}$ हैं,तो बिंदु $(p, q)$ किस रेखा पर स्थित है?

यदि $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ है, तो $\alpha + \beta$ का मान है

माना $a = i + 2j + k$,$b = i - j + k$,$c = i + j - k$ है। $a$ और $b$ के समतल में स्थित एक सदिश का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। तो,ऐसा एक सदिश है

मान लीजिए $\vec{c}$ और $\vec{d}$ ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ और $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ है। यदि $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ के संभावित मान हैं, तो समीकरण $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ एक वृत्त को दर्शाता है, तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए: