જો $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે, તો $p$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b, c$ એ $x^5 = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે અને $S$ એ $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ અ-વ્યુત્ક્રમણીય શ્રેણિકોનો ગણ છે,જ્યાં $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$. તો ગણ $S$ માં રહેલા ભિન્ન શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધો.

જો $A$,$B$,અને $C$ એ $3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય,જેથી $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ અને $|B| = 36$,$|C| = 4$,$(x, y, z \in \mathbb{N})$ અને $|ABC| = 1152$ હોય,તો $x + y + z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$ અને $\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની એક શક્ય કિંમત શોધો.

ધારો કે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ અમુક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y$,અને $z$ માટે છે,જેના માટે $2 \times 2$ શ્રેણિક $R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના તમામ ઘટકો શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેથી $QR = RP$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $\omega (\neq 1)$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધો.