यदि sin ^{-1}left(frac{12}{x}right)+sin ^{-1} | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ है।हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{

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(C) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}ight)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}ight)=\frac{\pi}{2}$ है।हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$, इसलिए $\sin ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(u)$.समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}ight) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}ight)$.सर्वसमिका $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(u) = \cos ^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}ight) = \cos ^{-1}\left(\frac{5}{x}ight)$.मान लीजिए $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}ight) = 	heta$, तो $\sin 	heta = \frac{12}{x}$.चूंकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$, इसलिए $\cos 	heta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{x}ight)^2} = \frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}$.अतः, $	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}ight)$.दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x} = \frac{5}{x}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 144 = 25$.$x^2 = 169$, जिससे हमें $x = 13$ प्राप्त होता है (क्योंकि यहाँ $\sin^{-1}$ के डोमेन के लिए $x$ धनात्मक होना चाहिए)।

यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ है, तो $x=$

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$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिसके लिए $(\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3 = k \pi^3$,$x \in \mathbb{R}$,अंतराल है

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