यदि f(x) = begin{cases} x^2 left| cos frac{pi | vedclass

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Question

(A) $x = 2$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम सबसे पहले ध्यान देते हैं कि $2$ के पड़ोस में $x$ के लिए, $\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है क

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अवकलनीय

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(A) $x = 2$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम सबसे पहले ध्यान देते हैं कि $2$ के पड़ोस में $x$ के लिए, $\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है क्योंकि $\frac{\pi}{x}$, $\frac{\pi}{2}$ के निकट है। विशेष रूप से, $2$ के निकट $x$ के लिए, $\frac{\pi}{x}$ अंतराल $(0, \pi)$ में है, जहाँ $\cos(\frac{\pi}{x})$ धनात्मक है। अतः, $2$ के एक छोटे पड़ोस में $x$ के लिए, $f(x) = x^2 \cos(\frac{\pi}{x})$ है। अब, गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \cos(\frac{\pi}{x})] = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + x^2 [-\sin(\frac{\pi}{x})] \cdot (-\frac{\pi}{x^2}) = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + \pi \sin(\frac{\pi}{x})$। $x = 2$ पर मान रखने पर: $f'(2) = 2(2) \cos(\frac{\pi}{2}) + \pi \sin(\frac{\pi}{2}) = 4(0) + \pi(1) = \pi$। चूँकि $x = 2$ पर अवकलज का अस्तित्व है, इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 \left| \cos \frac{\pi}{x} \right|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है, तो $x = 2$ पर $f(x)$ है

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