मान लीजिए [x] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता | vedclass

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Question

(C) $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$ के लिए,$2x \in [-1, 0)$,इसलिए $[2x] = -1$. अतः,$f(x) = 4x^2 - x$.$x \in [0, \frac{1}{2})$ के लिए,$f(x) = ax^2 - bx$.$x =

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$f(x)$,$(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ में सतत और अवकलनीय है $\forall a \in R \& b = 1$.

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(C) $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$ के लिए,$2x \in [-1, 0)$,इसलिए $[2x] = -1$. अतः,$f(x) = 4x^2 - x$.$x \in [0, \frac{1}{2})$ के लिए,$f(x) = ax^2 - bx$.$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x)$.$f(0^-) = 4(0)^2 - 0 = 0$ और $f(0^+) = a(0)^2 - b(0) = 0$. चूँकि $0 = 0$,$f(x)$ सभी $a, b$ के लिए $x = 0$ पर सतत है।$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,हम $f'(0^-) = f'(0^+)$ की जाँच करते हैं।$x $x > 0$ के लिए $f'(x) = 2ax - b$,इसलिए $f'(0^+) = -b$.उन्हें बराबर करने पर,$-1 = -b \Rightarrow b = 1$.अतः,$f(x)$ तब $x = 0$ पर अवकलनीय है यदि $b = 1$,जो $a$ से स्वतंत्र है।

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + [2x]x, & \text{यदि } x \in [-\frac{1}{2}, 0) \\ ax^2 - bx, & \text{यदि } x \in [0, \frac{1}{2}) \end{cases}$. तो:

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -x, & x < 1 \\ a + \cos^{-1}(x + b), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है,तो $\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$ अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

यदि $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{जब } |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{जब } |x| > 1 \end{cases}$ है,तो $\frac{d}{dx} f(x)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} (x - 1) \sin \frac{1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $x + |y| = 2y$ है,तो $x = 0$ पर $x$ के फलन के रूप में $y$ है

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