मान लीजिए f(x) = begin{cases} (x - 1) sin fra | vedclass

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Question

(D) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - (-1) \

Vedclass · Accepted Answer

$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है लेकिन $x = 1$ पर नहीं

Vedclass · Answer

(D) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - (-1) \sin(-1)}{h}$$= \lim_{h 	o 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - \sin(1)}{h}$.जैसे $h 	o 0$,सीमा $\frac{-\sin(-1) - \sin(1)}{0}$ प्राप्त होती है,जो परिभाषित नहीं है। अतः,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:$f'(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin(\frac{1}{h})$.चूंकि $\lim_{h 	o 0} \sin(\frac{1}{h})$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।इसलिए,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है लेकिन $x = 1$ पर नहीं।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} (x - 1) \sin \frac{1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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