यदि int e^{-x} tan ^{-1}left(e^xright) d x = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight) d x$ है। $e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $e^x d x = d t$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $d x = \f

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$x - e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight) d x$ है। $e^x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $e^x d x = d t$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $d x = \frac{1}{t} d t$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{	an ^{-1} t}{t^2} d t$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = 	an ^{-1} t$ और $dv = t^{-2} dt$ लेने पर, $du = \frac{1}{1+t^2} dt$ और $v = -\frac{1}{t}$ प्राप्त होता है। $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t - \int \left(-\frac{1}{t}ight) \frac{1}{1+t^2} d t = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \int \frac{1}{t(1+t^2)} d t$। आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर, $\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$। अतः, $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}ight) d t$। $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \log |t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + C$। $t = e^x$ वापस रखने पर: $I = -e^{-x} 	an ^{-1} (e^x) + \log (e^x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$। चूंकि $\log (e^x) = x$ है, इसलिए $I = -e^{-x} 	an ^{-1} (e^x) + x - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$। दिए गए व्यंजक $f(x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$ के साथ तुलना करने पर, $f(x) = x - e^{-x} 	an ^{-1} (e^x)$ प्राप्त होता है।

यदि $\int e^{-x} \tan ^{-1}\left(e^x\right) d x = f(x) - \frac{1}{2} \log \left(1+e^{2 x}\right) + C$ है, तो $f(x)$ का मान क्या है?

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