यदि alpha और beta क्रमशः उस अवकल समीकरण की को | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यापक हल: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.पुनः $x$

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) दिया गया व्यापक हल: $a x^2+b y^2=1$ $\ldots$ $(i)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 a x+2 b y \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow a x+b y y'=0$.पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a+b(y')^2+b y y''=0$.प्रथम अवकलज से, $a = -b y y' / x$. इस मान को दूसरे अवकलज समीकरण में रखने पर:$-b y y' / x + b(y')^2 + b y y'' = 0$.$b$ से भाग देने पर ($b 
eq 0$ मानते हुए): $-y y' / x + (y')^2 + y y'' = 0$.$x$ से गुणा करने पर: $x y y'' + x (y')^2 - y y' = 0$.इस अवकल समीकरण की कोटि $\alpha = 2$ और घात $\beta = 1$ है।इन मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण $\alpha x^2+\beta y^2=1$ में रखने पर, हमें $2 x^2+y^2=1$ प्राप्त होता है।मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$.यहाँ, $a^2 = 1/2$ और $b^2 = 1$ है। चूँकि $b^2 > a^2$, उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

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